Linearne diferencijalne jednačine višeg reda | seminarski diplomski

Ovo je pregled DELA TEKSTA rada na temu "Linearne diferencijalne jednačine višeg reda. Homogene i nehomogene". Rad ima 14 strana. Ovde je prikazano oko 500 reči izdvojenih iz rada.
Napomena: Rad koji dobjate na e-mail ne izgleda ovako, ovo je samo DEO TEKSTA izvučen iz rada, da bi se video stil pisanja. Radovi koje dobijate na e-mail su uređeni (formatirani) po svim standardima. U tekstu ispod su namerno izostavljeni pojedini segmenti.
Uputstvo o načinu preuzimanja rada možete pročitati OVDE.


Sadržaj
Linearne diferencijalne jednačine višeg reda 1
1. Homogena jednačina 1
2. Nehomogena jednačina. Metod varijacije konstanti 5
3. Homogena jednačina sa konstantnim koeficijentima 9
Literatura 14
Linearne diferencijalne jednačine višeg reda
1. Homogena jednačina
Definicija 1.1 Diferencijalna jednačina
y+ p1 (x)y++ pn-1(x)y( + pn(x)y = q(x), x( (a,b), (1.1)
je linearna diferencijalna jednačina reda n.
Ako je q 0 na (a,b) to jest,
y+ p1 (x)y++ pn-1(x)y( + pn(x)y =0, x( (a,b), (1.2)
kažemo da se radi o homogenoj jednačini, u suprotnom je nehomogena jednačina.
Egzistencija i jedinstvenost rješenja diferencijalne jednačine (1.1) su date sledećom teoremom.
Teorema 1.1 Ako su funkcije q, p1, p2,..., pn neprekidne na (a,b), tada za svako x( (a,b) postoji jedinstveno rješenje y diferencijalne jednačine (1.1) definisano na (a,b) koje zadovoljava uslove
y(x0) = y0 , y( (x0) = y(0 ,...,y( x0) = y0 ,
gdje su y0, y(0 ,...,y, dati realni brojevi.
Primjetimo da je kod diferencijalne jednačine (1.1) neprekidnost koeficijenata dovoljna za egzistenciju i jedinstvenost rješenja Košijevog početnog problema na cijelom intervalu (a,b), dok smo kod Peanove teoreme odnosno Picard-Lindelofove teoreme imali egzistenciju i jedinstvenost rješenja u nekoj okolini tačke x0.
Definicija 1.2 Neka su date funkcije p1, p2,..., pn . Simbol L[ ] označava diferencijalni operator,
L[y] = y+ p1 (x)y++ pn-1(x)y( + pn(x)y.
Sada diferencijalne jednačine (1.1) i (1.2) možemo pisati u obliku
L[y] = q(x) i L[y] = 0, x( (a,b).
Lako se vidi da je operator L[ ] linearan, to jest vrijedi
L[Cy] = CL[y], C ( R ,
L[y1+y2] = L[y1] + L[y2].
Na osnovu ove dvije osobine imamo da je
L[C1y1 + C2y2 ++ Cnyn] = C1L[ y1] + C2L[ y2] ++ CnL[ yn],
C1, C2 ,....,Cn ( R .
Prema tome vrijedi sljedeća teorema.
Teorema 1.2 Ako su y1 , y2 ,...,yn rješenja diferencijalne jednačine (1.2) tada je i
y = C1y1 + C2y2++ Cnyn njeno rješenje.
Na osnovu prethodne teoreme zaključujemo da možemo dobiti nova rješenja jednačine (1.2)
ako znamo neka njena rješenja. To nameće potrebu da se odredi skup rješenja kod koga se nijedno rješenje ne može dobiti preko ostalih rješenja.
...

CEO RAD MOŽETE PREUZETI NA SAJTU: WWW.MATURSKIRADOVI.NET