EUKLID - Ευκλείδης

Ime Euklida se često smatra sininimom za geometriju. Njegovi Elementi su jedna od najvažnijih i najuticajnih knjiga u istoriji matematike, pošto je služila kao osnova, a nekada i sam tekst knjige, je korišten za većinu geometrijskih učenja u poslednjih 2300 godina. Ona je u velikom delu doprinela “geometrizaciji” matematike i postavila standard strogosti i logičke strukture u matematičkim radovima. Ovaj rad počinje sa razmatranjem o tome šta je poznato o Euklidovom zivotu i njegovim drugim delima. Potom je u centru pažnje sistematčno razmatranje Elemenata.

Euklidov život

Iako je Euklid najpoznatiji matematičar stare antike malo se zna o njegovom životu. Proklo (410-485 n.e.) , jedan od najvećih grčkih filozofa je napisao:
“Ne mnogo mlađi od ostalih Platonovih učenika je Euklid, koji je sakupio Elemente klasifikujući mnoge Eudoksove teoreme, usavršavajući mnoge od Teatusa, i takođe je dokazao mnoge činjenice koje su se do tada samo nagađale. Ovaj čovek je živeo u vreme Prolomeja I (306-283 p.n.e.), jer Arhimed koji je živeo odmah posle Ptolomeja I pominje Euklida. Još su govorili da je Ptolomej I jednom pitao Euklida dali postoji lakši put, od Elemenata, da se nauči geometrija našta mu je ovaj odgovorio da ne postoji carski put do geometrije. On je bio mlađi od Platonovog kruga, a starijii od Eratostena i Arhimeda koji su bili savremenici, kao što je Eratosten negde rekao. Po svom ubeđenju bio je platonista, bivajući naklonjen ovakvoj filozofiji on se na kraju Elemenata bavio konstrukcijom svih tzv. Platonovih figura.”
Postoje i drugi izvori kao što je Papus iz Aleksandrije (oko 320 n.e.) koji u svom delu “Zbirka” tvrdi da je Apolonije iz Perga (262-190 p.n.e.) dugo studirao u tom gradu kod Euklidovih učenika. Zbog toga je opšte prihvaćeno da je Euklid bio u zenitu u Aleksandriji oko 300 godine p.n.e. i da je osnovao matematičku školu u tom gradu. Tokom srednjeg veka Euklid je često nazivan Euklid iz Megare zbog toga što je mešan sa filozofom Sokratove tradicije istog imena koji je živeo oko 400 p.n.e. Smatra se da je Euklid obrazovanje stekao u Platonovoj akademiji u Atini jer jedino je tamo mogao da se upozna sa geometrijom Eudoksa i Teadusa, koje očigledno tako dobro poznaje.
Ni jedno Euklidovo delo nema predgovor, odnosno nije sačuvan do danas, pa verovatno nije ni postojao, tako da ne možemo saznati ništa o njegovom karakteru, kao što možemo o nekim drugim grčkim matematičarima, sudeći po prirodi njihovih pregovora. Papus piše da je Euklid bio:
»... vrlo pravičan i naklonjen prema svima koji su bili u stanju da u ma kom stepenu unaprede matematiku, pažljiv da ne nekoga slučajno uvredio i iako je bio pravi naučnik nije bio uobražen.«
Ovo očigledno ilustruje sledeća priča: Đak koji je upravo naučio njegovu prvu teoremu pita šta će dobiti učeći takve stvari, na to Euklid kaže svom robu da da đaku tri obola »pošto on mora da ima korist od onog što uči«.

Druga Euklidova dela, sem Elemenata

Sačuvana dela

Pored Elemenata sačuvana Euklidova dela obuhvataju: Podaci (Data), O deobi figura, Fenomeni i Optika. Sva su sačuvana u originalu na grčkom, izuzev O deobi figura, koje je delom sačuvano na arapskom. Sva ova dela slede osnovnu logučku strukturu Elemenata, sadrže definicije i precizno dokazane postavke.
Podaci su čvrsto povezani sa prve četiri knjige Elemenata. Delo počinje sa definicijama različitih smislova u kojima su stvari, kako se kaže »date«. tako linije, uglovi i proporcije mogi biti date u veličini; pravolinijeske figure mogu biti date po vrsti ili obliku; a tačke i linije mogu biti date u pozicijama. Te definiceje slede 94 postavke kojima se određuje da kada su određeni aspekti figure dati onda su drugi aspekti dati. Papus svrstava ovo delo među one koji su u »Riznici analize«;u stvari postavke u Podacima se mogu smatrati elementarnim vežbama u analizi koje dopunjuju teoreme i probleme u Elementima. Podaci su takođe od značaja za razvoj algebre. Takozvana geometrijska algebra kod Grka je razmatrana u okviru pregleda Knjige II Elemenata u četvrtom odeljku ovog rada.
O deobi figura je do nas stiglo delo samo u arapskom prevodu, i to ne direktnom. U svojoj sadašnjoj formi sadrži 36 postavki o deobi različitih figura na dva ili više jednakih delova ili delova u datoj proporciji.Te deobe mogu biti u istovrsne figure – trougao u trougao, ili u raznovrsne figure- trougao u trougao i četvorougao na pr. Figure tako podeljene uključuju, trouglove, paralelograme, trapeze, četvorouglove, krugove i figure omeđene lukom krive i dve prave linije koje čine dat ugao.Dokazi samo četiri postavke su sačuvani. Dva od njih su 19. : » Podeliti dati trougao na dva jednaka dela linijom koja prolazi kroz datu tačku unutar trougla«, i 29. :« Nacrtati u datom krugu dve paralelne linije koje odsecaju određeni deo od kruga«. Ovo delo je slično »Deobi figura« Herona iz Aleksandrije, delu iz možda 3. veka nove ere, stim što Heron dopunjuje svoje razmatranje numeričkim kalkulacijama.
Euklidovi Fenomeni su traktat o sfernom, studija sferne geometrije čija je svrha objašnjavanje planetarnih kretanja. Delo je sačuvano na grčkom i vrlo je slično delu » O pokretnoj sferi« Autolika iz Pitane, koji je stvara oko 310 g. s. e.Međutim Autolikove postavke su složenije od Euklidovih, koji koristi odgovarajuće astronomske termine: horizont i krug zodijaka u svojoj prezentaciji. Euklidovo delo takođe ima odlike klasične grčke forme koja se sreće u svim Euklidovim raspravama, što pokazuje da takav stil prezentacije nije originalno Euklidov pronalazak. U Fenomenima Euklid prvi put pominje da se kupa može dobiti presecanjem cilindra.
Euklidova Optika je najranije sačuvana grčka rasprava o perspektivi. Definišući je, Euklid sledi platonističku tradiciju, po kojoj je vid omogućen putem zraka koji se emituju iz oka. Važna definicija je 4.: » Stvari viđene pod većim uglom izgledaju veće, a one viđene pod manjim uglom manje, dok one viđene pod jednakim uglovima izgledaju jednake«. U 36 postavki koje potom slede, Euklid povezuje prividnu veličinu objekta sa njenom udaljenošču od oka i istražuje prividne oblike cilindra i kupe kada se posmatraju iz različitih uglova. Postavka 45 je interesantna je dokazuje da ( bilo koje dve nejednake veličine izgledaju iste iz nejednakog ugla) postoji određeni ugao iz kog dve nejednake veličine izgledaju jednako. Papus je verovao da su takvi rezultati važni u astronomiji i uključio je Euklidovu Optiku , zajedno sa prethodnim delom Fenomeni u »Malu astronomiju«, zbirku manjih radova koje treba prostudirati pre »Sintakse« Klaudija Ptolomeja.

Izgubljeni radovi

Od izgubljenih radova koji se pripisuju Euklidu, četiri su nesumljivo njegova dela: Kupa, Porizmi, Pseudarije i Površinske tačke. Euklidova Kupa predhodi za oko polovinu veka poznatom Apolonijevom delu o istom predmetu. Euklidov pristup je najverovatnije kompilacija predhodno poznatihinformacija- ko što su i Elementi- i verovatni nije mnogo originalan. Euklid zapravo, kako tvrdi Papus, odaje priznanje Aristeju, svom savremeniku, za rezultate o kupi. Papus dalje kaže da je » Apolonije pošto je kompletirao četiri Euklidove knjige o kupi i dodao još četiri, ostavljajući potomstvu osam tomova o kupi.« Sadrža Euklidove rasprave je prema tome, smatra se, bio sasvim sličan prvim trima ili četirima knjigama Apolonijevog dela. Apolonijeva » Kupa« brzo je zamenila ranije delo, a do Papusovog vremena Euklidovo delo je već bilo izgubljeno, dok je Aristejevo još uvek postojalo.
Papus i Proklu pripisuju Euklidu trotomno delo pod nazivom »Porizmi«, koje je sadržavalo 171 teoremu i 38 lema.Porizam je, možda, zaključak izveden iz već dokazanih zaklučaka, nešto što lako sledi iz već dokazane postavke, ili možda znači tip postavke koja je po sredini, između teoreme- iskaza o svojstvima date stvari- i problema- neposredna konstrukcija ili dokazivanje postojanja nečega. Proklo daje kao primer ovog drugog značenja traženje centra kruga( Postavka III Knjiga Elemenata); centar postoji ali mora biti pronađen. Treće značenje je ponudio Papus«Porizam je nešto što je slabije od lokus-teoreme u pogledu njegovih hipoteza.«. Lokus je niz tačaka koje zadovoljavaju određena svojstva. Teoreme, problemi i porizmi će dalje biti razmatrani u trećem odeljku ovog rada.Bilo je nekoliko pokušaja da se rekonstruiše delo Porizmi, ali pošto još uvek postoje kontroverze oko samog značenja naslova, razmatranje sadržaja dela je teško. Opšte je prihvaćeno da je to delo iz oblasti više matematike. Papus je smatrao da je dovaljno značajno da bude uključeno u »Riznicu analize«. Ima nagoveštaja da je celo delo samo usputni proizvod Euklidovih istraživanja o konusnim presecima, čime postavke sadržane u Porizmi ima smisao dat u prvom objašnjenju.
Proklo opisuje Euklidovo delo nazvano Pseudarije ili Knjiga o pogrešnom zaključcima u kojem on pokazuje početnicima kako da izbegnu grehke u rezonovanju »postavljanjem istinitog pored lažnog i prilagođavanje njegovog pobijanja grešaka zavođenjima sa kojima se možemo susresti«. Jasno je iz Proklovog opisa da je delo iz oblasti elementarne geometrije, ali ništa više o njemu nije poznato.
Poslednje Euklidovo delo koje je uključeno u »R iznicu analize« je Skupovi površinskih tačaka«. Nije poznato da li se taj naslov odnosi na skupove tačaka na površini ili na skupove tačaka koji su sami površine.Papus daje dve leme uz ovo delo- tako one nisu deo originalnog Euklidovog teksta- a jedna od njih je osobina odnosa žiža-direktrisa konusnih preseka. Druga, čini se, daje skupove tačaka koji su kupe ili cilindri ali ta interpretacija je bazirana na izvesnom preformulisanju leme da bi bila matematički ispravna. U svakom slučaju, da dokazi idu u prilog interpretaciji da su skupovi tačaka sami površine. Pretpostavlja se da su neki skupovi tačaka višedimenzione površine( paraboloidi, hiperboloidi, elipsoidni sferoidi); ipak ništa od Euklidonog originalnog dvotomnog teksta nije sačuvano da potvrdi takvu hipotezu.

Dela nepouzdanog autorstva

Druga dela koja se pripisuju Euklidu su »Catoptrica« i nekoliko dela o muzici i mehanici.«Catoptrica« o teoriji ogledala, Euklidu pripisuje Proklo. Opšte je prihvaćeno, međutim, da je Proklo pogrešio. Postoji veća verovatnoća da je to delo Teona iz Aleksandrije( 4 vek n. a.), koji je priređivao neka od Euklidovih dela.
Proklo,takođe, pripisuje Euklidu delo nazvano »Elementi muzike«. Dve sačuvane rasprave su vezivanr za ovo delo: » Uvod u harmoniju« i »Sectio canonis« (podela skala). Prva je bazirana na muzičkoj teoriji Aritoksena i opšte je prihvaćeno da je to delo njegovog učenika Kleonida. Drugo delo je bazirano na Pitagorinoj teoriji matematičke proporcije između nota. To nije mnogo kvalitetna rasprava, a neki veruju da je nastala od odlomaka iz Euklidovih originala koje je načinio neki kasniji pisac.
Nekoliko radova o mehanici arapski izvori pripisuju Euklidu. »O teškom i lakom« sadrži, u devet definicija i pet postavki, aristotelovske pojmove o telima u pokretu i koncept specifične težine. »Knjiga o ravnoteži« bavi se teorijom poluge u maniru nalik Euklidovom, sadržavajući jednu definiciju, dve aksiome i četiri postavke. Treći fragment, o krugovima koje opisuju krajevi pokretnih poluga, sadrži četiri postavke. Ova tri rada se dopunjuju na takav način da je bilo sugestija da su oni ostaci jedne rasprave o mehanici, koju je možda napisao Euklid.

Struktura Elemenata

U trinaest knjiga Elemenata, Euklid predstavlja na izvanredno logičan način, celokupno elementarno geometrijsko znanje Grka njegovog vremena. To uklučuje geometriju ravni, geometriju prostora, teoriju brojeva i vrstu geometrijske algebre.Proklo definiše Elemente kao »one teoreme čije razumevanje vodi spoznavanju ostalog«.Tako su Elementi udžbenik koji okuplja na jednom mestu koncepte i teoreme koji predstavljaju osnove grčke matematike. Euklid nije prvi napisao takvo delo. Poznato je da je Hipokrat sa Hiosa (stvarao oko 440 pre n.e.) a i drugi su sačinili knjige elemenata pre njega. Euklidova raspravaje, ipak, brzo prihvaćena kao superiorna u odnosu na prethodne Elemente a ni jedno od ranijih radova nije sačuvano.

Definicije, postulati i aksiome

U »Drugoj analitici« Aristotel (384-322 pre n.e.) pruža detaljno razmatranje uloge prvih principa u dokaznim naukama. Početni principi su koncepti ili tvrđenja koja se ne dokazuju. Njihova istinitost se podrazumeva i iz njih se druga tvrđenja dokazuju. Aristotelovi početni principi se mogu klasifikovati u tri vrste: aksiome, definicije i postulati.
Definicija je iskaz koji zahteva samo razumevanje upotrebljenih termina. Ona ništa ne kaže o postojanju stvari koja se definiše, to se mora odvojeno dokazati. Na primer, defiisanje šta se misli pod terminom »krug« ne podrazumeva da takav objekat i postoji.
Aksiom ili opšti pojam tvrđenja čija se istinitost uzima zdravo za gotovo, kaao potpuno očiglrdna,i koja je primenjiva-po analogiji- u svim naukama. Primer toga je : one koje su jednake istoj jednake su i među sobom; to je prvi aksiom u Elementima.
Postulati, kao i aksiomi, su prihvaćeni bez dokaza.Dok moderni matematičari uglavnom na prave razlike između ove dve kategorije, stari Grci su pravili razliku. Aristotel nudi tri načina na kojima se pravi razlika između postulata i aksioma.
1. Postulati nisu samo evidentni za razliku od aksioma.
2. Postulati su primenljivi samo u pojedinačnoj razmatranoj nauci, dok su aksiomi opštiji.
3. Postulati potvrđuju da nešto postoji, dok aksiomi to ne čine.

Svaki od Euklidovih postulata može da se uklopi u bilo koju ili sve ove interpretacije. Na primer, postulat » opisati krug sa datim rastojanjem«-treći Euklidov- očigledno sačinjava iskaz o postojanju krugova i nije baš samo-evidentan, kao što je uzorak aksioma dat gore.

Postavke-delovi postavke

Postavka može biti iskaz o svojstvima jednog objekta ili upustvo da se nešto konstruiše. U prvom slučaju je reč o teoremi, u drugom o problemu.Teoreme ne dokazuju postojanje nečega, s obzirom da su uslovljeni iskazi.Problemi, međutim,kada se reše dokazuju postojanje nečega, s obzirom da je deo rešenja dokazivanje da je konstruisana stvar zaista primer objekta interesovanja. To je jedan opšti način dokazivanja postojanja nečega u matematici. Na primer, da bi dokazao postojanje jednakostraničnog trougla, Euklid, u svojoj prvoj postavci, konstruiše poseban trougao i dokazuje da su sve njegove stranice jednake.
Proklo daje šest formalnih delova postavke uklučujući:formulacija, razrada,specifikacija, konstrukcija, dokaz i zaključak. On ovo objašnjava:
»Formulacija navodi ono što je dato i što se iz njega traži pošto se savršena formulacija sastoji iz oba dela. Ekspozicija uzima pojedinačno ono što je dato i priprema ga unapred za korišćenje u ispitivanju.Specifikacija pojedinačno tretira stvar koja se traži i precizno razjašnjava šta je. Konstrukcija dodaje ono što nedostaje u datom da bi se pronašlo traženo. Dokaz izvlači predloženi zaključak rezonujući naučno iz postavki koje su dopustive. Zaključak se vraća na formulaciju potvrđujući ono što jr dokazano.«
Grčka reč prevedena gore kao specifikacija glasi Diorizmos. Taj termin može takođe da znači i » uslov za rešenje« , naime » da li je predloženo pitanje rešivo ili ne, do kog stepena je rešivo i na koliko načina«.

Sadržaj Elemenata

Pre razmatranja šta sadrže Elementi, mora se reći šta nije u njima.Prvo, iako Euklid koristi koncept površina pravolinijskih figura on nigde ne daje formulu za izračunavanje tih površina.Stari Grci su načinili jasnu razliku između logičkog, koje Platon određuje kao« umeće kalkulacije« i aritmetičkog koje je danas poznato kao teorija brojeva. Drugo, s obzirom da je Euklid zasnovao celu svoju geometriju na tačkama, pravim linijama i krugovima ( a time konstrukciju lenjirom i šestarom ), takozvana tri čuvena problema grčke matematike- kvadratura kruga, trisekcija ugla, i udvostručenje kocke se ne nalaze u ovom delu.Konačno, preseci kupe poznati već oko 50 godina, od kad ih je otkrio Menehme, su još uvek smatrani kao sfera više matematike u Euklidovo vreme te se zbog toga ne pojavljuju u Elementima. Kao što je već pomenuto Euklid se kupama bavi u posebnom delu.

I Knjiga

Definicije u I knjizi

U prvoj knjizi Euklid definiše osnovne termine u geometriji ravni, uključujući: tačku, liniju, površ, ugao, figuru, itd.Većina definicaja u ovoj i potonjim knjigama nisu izuzetne , ipak neke zaslužuju pažnju bilo zbog svoje originalnosti ili zbog svog istorijskog značaja.Na primer, način na koji Euklid definiše tačku, liniju i površ očigledno se razlikuje od definicija datih u knjigama njegovih predhodnika.Aristotel je ocenio, pre nego što su se pojavili Elementi, da u standardnim definicijama tih objekata, prvi se definiše korišćenjem drugih,naime tačka se definiše kao krajnost linije, linija površi,a površ poliedra. Po njegovom shvatanju, takve definicije su ne naučne. Euklidje, možda imajući u vidu takvu kritiku, pokušao da definiše svaki od termina nezavisno.Tako na primer:I Def. 1 » Tačka je ono čiji je deo ništa«; I Def. 2 » Linija je dužina bez širine«; I Def. 5 » Površ je samo ono što ima dužinu i širinu«. Pošto je definisao svaki od pojmova on se vratio starim definicijama da bi povezao koncepte. Kompromis postignut takvim definicijama se smatra da je bio Euklidova ideja. Važna definicija je ona koja je poslednja data u I knjizi: » Paralelne prave linije su prave linije koje, s obzirom da se prostiru neograničeno u oba pravca, ne susreću se ni ujednom pravcu«( I Def 23) To je u suštini ista definicija sa onom koju daje Aristotel. Euklid je odlučio da ne uzima drugu definiciju o paralelnim linijama kao pravim linijama koje su na svakom mestu podjednako udaljene jedna od druge.Ova definicija je od ključnog značaja za dakozvani postulat o paraleli V postulat I knjige).

Postulati i aksiome I Knjige

Spisak postulata:
1. Pretpostavlja se da je moguće od svake tačke do svake druge tačke konstruisati pravu liniju
2. Predpostavlja se da se svaka prava, sledujući njen pravac, može neograničeno produžiti
3. Predpostavlja se da se u nekoj ravni oko svake njene tačke može opisati krug bilo kog poluprečnika
4. Predpostavlja se da su svi pravi uglovi među sobom jednaki
5. Ako jedna prava presecajući dve komplanarne prave obrazuje sa njima s iste strane dva unutrašnja ugla kojima je zbir manji od dva prava ugla, tada se te dve prave, neograničeno produžene, seku sa one strane sečice sa koje je zbir ta dva ugla manji od dva prava ugla.

U prva tri postulata Euklid uvodi postojanje tački, linija i krugova. To je neophodno jer kao što je pomenuto ranije, definicija tih objekata ne podrazumeva njihovo postojanje. Postojanje svih drugih geometrijskih objekataje dokazano u kasnijim postavkama. Prvi postulat bi se mogao tumačiti kao potvrđivanje jedinstvenosti prave linije između dve date tačke. Slično, treći bi se mogao tretirati kao potvrda neograničenosti i neprekidnosti prostora na ovaj način: radijus kruga može biti neograničeno mali, što podrazumeva da ne postoji minimalna distanca između dve tačke u prostoru- otuda prostor je neprekidan;s druge strane radijus može biti neograničeno velik, stoga nema maksimalne udaljenosti između dve tačke u prostoru. Sasvim je moguće da je Euklid sagledao tumačenje jedinstvenosri u prvom postulatu ali je neizvesno da je treći tumačio na gore opisani način.Četvrti i peti postulat su dugo smatrani za teoreme koje se mogu dokazati. Četvrti utvrđuje da je prav ugao determinantna veličina prema kojoj se mogu meriti svi drugi uglovi. Peti postulat se smatra originalno Euklidovim. Nazvan je » rečenicom u istoriji nauke koja je postakla više publikacija nego bilo koja druga«. Ideja da se može dokazati zasnovana je na dužini i kompleksnosti i činjenici da je njena suprotnost teorema I 17 koju je dokazao Euklid.Neki od istaknutih pokušaja da se dokaže dati su u Hitovom (Ser Tomas Hit ) izdanju Elemenata. Nemogućnost dokazivanja aksioma o paralelnosti uverila je neke, konkretno Karla Fridriha Gausa ( 1777-1855) i Nikolaja Ivanoviča Lobačevskog ( 1793-1856) da je moguća ne euklidovska geometrija. Prvi je Lobačevski objavio rad, 1829. god., o geometriji građenoj na postulatu koji je direktno kontradiktoran sa V postulatom.
Pet gore navedenih iskaza jedini su u Elementima koje Euklid naziva postulatima. Međutim četvrta i peta definicija u V Knjizi imaju formu postulata. O tome će mo kasnije govoriti.
Euklidovi aksiomi, koje on naziva opšti pojmovi su sledeći:
1. One koje su jednake istoj jednake su i među sobom.
2. Ako se jednakim dodaju jednake celine su jednake.
3. Ako se od jednakih oduzmu jednake ostaci su jednaki.
4. One koje se mogu dovesti do poklapanja jednake su među sobom.
5. Celina je veća od dela.
Od ovih samo je za četvrti potrebno objašnjenje. Veruje se da je u ovom aksiomu, Euklid potvrdio da je upoređivanje prihvatljiv metod dokazivanja jednakosti dve figure. Tako u I 4 teoremi da bi dokazao takozvanu » strana-ugao- strana« teoremu o podudarnosti trouglova, on zamišlja da se jedan trougao pomera i stavlja preko drugog, a onda pokazuje da se sve stranice podudaraju.Mnogi drugi aksiomi su dodali kasniji pisci uključujući:
6. Dve linije ne ograničavaju oblast
7. Ako se nejednakim dodaju jednake, celine ostaju nejednake
8. Ako se od nejednakih oduzme jednako, celine ostaju nejednake
9. Udvostručenja jednakih međusobno su jednaka
10. Polovine jednakih međusobno su jednake

Ovi aksiomi su svi izvedeni iz Euklidovih postulata i aksioma. Obrati pažnju da je 6 aksiom u stvari postulat, jer se bavi geometrijskim objektima.

Postavke u I knjizi

U postavkama I knjige Euklid predstavlja poznatu geometriju linija i uglova u ravni, uključujući rezultate na trouglovima, paralelnim linijama, paralelogramima.Prve tri postavke daju tri osnovne »operacije« Euklidove geometrije.

1. Na ograničenoj pravoj liniji konstruisati jednakostraničan trougao.
2. Iz date tačke povući ograničenu pravu liniju jednaku datoj ograničenoj pravoj liniji.
3. Kada su date dve nejednake ograničene prave linije , odmeriti na dužoj ograničenu pravu liniju jednaku kraćoj.

Većina preostalih postavki u Elementima u zavisnosti je od ovih konstrukcija.U postavkama I knjige su sadržane i teoreme o podudarnosti trouglova, poznate u današnjim srednjoškolskim izučavanjima geometrije kao » strana-ugao-strana«( I 4. ),« strana-strana-strana« (I 8.), » ugao-strana-ugao« ( I 26.), »ugao-ugao-strana« (I 26.). Jedinstvenost trougla sa datim stranicama je dokazana u I 7. U I 22: Euklid pokazuje kako se konstruiše trougao od bilo koje tri date linije( pod uslovom da je to moguće). Da je zbir uglova trougla jednak dvema pravim uglovima je dokazano u I. 32.Postavke 9 i 10 bave se podelom datog ugla odnosno podelom linije. Da su unakrsni uglovi formirani u preseku linija jednaki dokazano je u I. 15. Postavke 27-31¸bave se paralelnim linijama, u I.31. Euklid konstruiše liniju, paralelnu datoj liniji, koja prolazi kroz datu tačku van date linije.
Postojanje paralelograma je dokazano u I. 33.; posle te postavke su mnoge teoreme o paralelogramima i njihovima površinama kao na primer I.35: »Parelelogrami sa istom osnovicom, između istih paralelnih, jednake su jedan drugom.« I. 41. » Ako paralelogram ima istu osnovicu sa nekim trouglom i ako leže između istih paralelnih, onda je paralelogram dva puta veći od trougla.« Postavka I.42. predviđa konsukciju paralelograma čija je površina jednaka površini datog trougla. Ta ideja je preneta u I.45. na konstrukciju paralelograma jednake površine sa površinom datog četvorougla. Konstrukcija kvadrata na datoj liji je data u I.46. Konačno, postavke 47 i 48 predstavljaju takozvanu Pitagorinu teoremu i obrnutu Pitagorinu teoremu. dokaz u I.47., baziran na figuri poznatoj pod nazivom »mladina stolica«, je kako se veruje originalno Euklidov.

II Knjiga

Sadržaj knjige II je po tradiciji shvatan kao geometrijska algebra. Prema tom shvatanju, stari grci su uzimai algebarske rezultate i stavljali ih u geometrijske termine, u glavnom radi preciznosti. To je bilo preovlađujuće shvatanje starogrčke matematike od kada je ustanovljenja pa sve do 1880-ih, od strane Georga Zojtena i Pola Tanerija. U poslednje dve decenije, međutim, to shavtanje izloženo jakoj kritici onih koji smatraju da nije istorijski tačno. debata o geometrijskoj algebri još je daleko od svog završetka. Jedna od privlačnosti pojma geomtrijske algebre je da on pruža pogodan okvir za razmatranje rezultata Knjiga Elemenata. Imajući u vidu gornja upozorenja, algebarska forma rezultata II Knjige biće predstavljena ovde iz praktičnih razloga. Prve četiri postavke su geometrijski ekvivalent sledećih algebarskih nizova.

II.1: a ( b + c + d + ... ) = ab + ac + ad + ...
II.2: (a + b) a + (a + b) b = (a + b)2
II.3: (a + b) a = ab + a2
II.4: (a + b) 2 = a2 + b2 + 2ab

Postavke 5.-10. predstavljaju slične, ali složenije pojave. U II.12. i II.13. Euklid predstavlja geometrijski ekvivalent današnjeg » zakona kosinusa«.

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos A ,

gde je A ugao nasuprot stranici a. Postulat II.13. kaže »U svakom oštrom uglu kvadrat na strani spram oštrog ugla manji je od zbira kvadrata na stranama koje obrazuju oštar ugao za dvostruki pravougaonik obuhvaćen jednom stranom oštrog ugla, naime onom na koju je spuštena normala i rastojanjem te normale od temena oštrog ugla.« Konačno u II.14. Euklid traži konstrukciju kvadrata koji je jednak datoj pravolinijskoj slici. Uopšte to je problem kvadrature. Kao što je pomenuto, Euklid ne primenjuje ovaj metod na krivolinijske figure, iako je Hipokrat sa Hiosa »ukvadratio« lunu-figuru u obliku polumeseca ograničenu sa dva kružna luka – više od sto godina pre.

III Knjiga

III knjiga se bavi krugovima, odsečcima i isečcima kruga

Nekoliko postavki danas više ne važe kao potpuno zadovoljavajuće. Dokazi nekih nisu sasvim jasni ako ne i precizni; neki se oslanjaju na nedokazane predpostavke; a neke su žrtve Euklidove sklonosti da izbegava složenost u dokazivanju. U svakom slučaju, moderni udžbenici predstavljaju saznanja o krugovima različita od Euklidovih. U III.1. Euklid nalazi centar datog kruga.Postavke 5. i 6. dokazuju da dva kruga neće imati isti centar ako se seku (III. 5. ) ili se dodiruju ( III. 6. ) .Na primer, da krugovi ne mogu imati više od dve zajedničke tačke je pokazano u III. 10. Postavka III. 16., o tangentama kruga, istorijski je interesantna. Ona glasi:
»Prava linija izvučena normalno u odnosu na prečnik od njegove krajne tačke naći će se izvan kruga, a u prostoru između prave linije i kružnice druga prava linija ne može biti umetnuta; osim toga ugao polukruga je veći, a preostali ugao manji, od oštrog pravolinijskog ugla.«

Na slici, tangenta EF je nacrtana na kraju BE, ugao polukruga je ugao DEC, a preostali ugao je DEF. Poslednji deo ove teoreme uvodi problem prirode uglova stvorenih od krivih linija i pravih linija, posebno tangenti. Postojala je velika kontroverza oko te teme od 13. do 17. veka pre no što je razvoj posebnih matematičkih metoda ( diferencijali, integrali ) omogićio precizan način za bavljenje tangentama i različitim kosinama krivih. Postavka III. 17 pokazuje kako nacrtati tangentu kruga iz bilo koje tačke van kruga. Postavka III. 20 govori o centralnom i periferijskom uglu. Da su svi uglovi upisani u istom kružnom segmentu isti dokazano je u III. 21.Od važnijih postulata treba istaći III.27 : U jednakim krugovima međusobno su jednaki uglovi, ako su oni bilo centralni, bilo periferijski nad jednakim lukovima; III. 29.: U jednakim krugovima jednake lukove stežu jednake tetive; III.37: Ako je van kruga uzeta neka tačka i ako su iz te tačke povučene na krug dve prave, od kojih jedna seče krug a druga samo stiže do njega, i ako je pri tome pravougaonik od cele sečice i njenog odsečka između uzete tačke i ispupčenog luka jednak kvadratu na onoj pravoj što stiže do kruga, onda poslednja prava dodiruje krug.

IV Knjiga

Ova knjiga se odnosi na figure opisane ili upisane u krugovima. Sve postavke su problemi, koji utvrđuju kako da se konstrukcije izvedu. Postoje četiri moguće konstrukcije za svaku figuru:
1. Dat je krug, upisati datu figuru;
2. Oko datog kruga opisati datu figuru;
3. Data je figura da se opiše krug;
4. Data je figura da se upiše krug;
Figure su trougao bilo kog oblika ( IV . 2- IV. 5), kvadrat ( IV. 6- IV. 9),pravilni petougao ( IV. 11- IV. 14), pravilan šestougao ( IV. 15), pravilan petnaestougao ( IV 16).

V Knjiga

U ovoj kjizi Euklid predstavlja teoriju proporcija koja se pripisuje Eudoksu sa Knida ( umro oko 355. god. p.n.e.). Ta teorija ne zahteva samerljivost odnosno, korišćenje brojeva koji imaju zajednički delitelj- i zbog toga je superiorna u odnosu na Pitagorinu teoriju zasnovanu na celim brojevima. Euklid predstavlja Pitagorinu teoriju u VII knjizi. Knjige I, V, VII su jedine u Elementima koje su potpuno samostalne, jer nisu zavisne od drugih knjiga. Svaka od njih je mogla da posluži kao polazište rasprave; zbog toga je značajno da je Euklid izabrao čisto geometrijsku I knjigu kao osnovu celog dela. Euklid je očigledno odloži raspravu o proporcijama što je više mogao, iako se ona prirodno vezuje za algebarske metode.
V knjiga počinje definicijom: » Jedna veličina je deo druge, manja od veće , ako manja meri veću ( multiplum)«. Posebno važna definicija ove knjige je definicija V.5 koja glasi: » Kaže se da su veličine u istom odnosu, prva prema drugoj kao treća prema četvrtoj, ako su bilo koji jednostruki multipli prve i treće u isto vreme ili veći, ili manji, ili jednaki od bilo kojih multipluma druge i četvrte, svaki prema svakom uzet u odgovarajućem poretku.«
Zapisano našom simbolikom ovu definiciju možemo izraziti na sledeći način:

ako iz ma>nb sledi mc>nd
ako iz ma<nb sledi mc<nd
ako iz ma=nb sledi mc=nd

gde su m,nZ, tada je a:b=c:d.

Ova definicija je verovatno nastala iz takozvanog Arhimedovog aksioma koji je u ovoj knjizi dat u obliku definicije V. 4 : » Veličine su u odnosu jedna prema drugoj ako neki multiplum ma koje od njih može biti veći od druge.«
Ostale definicije predstavljaju različite termine korištene u transformacijama proporcija, uključujući: alternativna proporcija, inverzna proporcija, kompozicija proporcija, razdvajanje proporcija,konverzija proporcija proporcija ex aeqvali ( po istom ) i poremećenih proporcija.Ove definicije jednostavno predstavljaju nazive različitih manipulacija sa proporcijama.
Sve postavke u V knjizi su teoreme. One se bave multiplikovanim veličinama, i veličinama u datim proporcijama. Većina teorema je očigledna kada je izražena modernim simbolima. U ovom slučaju, moderan način notiranja nije zavodljiv sobzirom da sam Euklid koristi slova za izražavanje veličina. Tri primera postavki sadržanih u ovoj knjizi su sledeća:

• V.4: Ako je A : B = C : D, tada je mA : nB = mC : nD, za bilo koje n,mZ.
• V.17: Ako je A : B = C : D, tada je (A - B) : B = (C - D) : D. (Ovo je primer razdvajanja proporcija.)
• V.21: Ako je A : B = E : F i B : C = D : E, tada je D < F ako je A < C, D = F ako je A = C, i D > F ako je A > C.
(Zaaključak ove postavke se može iskazati kao A : C = D : F.)

VI Knjiga

VI knjiga se bavi teorijom sličnosti i proširuje tehniku transformacija površina razvijenu u I knjizi u metod primene površine koji je glavna komponenta pogleda Grčke matematike na geometrijsku algebru.
I definicija u knjizi kaže :« slične pravolinijske figure su one čiji su uglovi potpuno jednaki a odgovarajuće stranice proporcionalne.« Zavisnost teorije sličnih figura od proporcija razlog je zbog kojeg teoreme o sličnosti nisu stavljene u I knjigu
U postavci VI.1. je dokazano da se kod trouglova istih visina » površina odnose kao njihove osnovice«. Postavke VI . 4- VI. 7 odnose se na slične trouglove. U postavci VI. 11, Euklid nalazi treću proporcionalu dvema datim pravim linijama- naime za dato A i B ,naći C tako da je A:B=B:C. U VI. 12 , on nalazi četvrtu proporcionalu trima datim linijama- date A,B i C naći D tako da je A:B=C:D. Konačno u VI.13 on nalazi srednju proporcionalu između dve date linije- dato A i B naći C tako da je A:C=C:B.
Nekoliko teorema bavi se određenim figurama čije su strane u različitim proporcijama. Postavka VI.18. traži konstrukciju na datoj pravoj odgovarajućih linijskih figura »sličnu i slično postavljenju prema datoj pravolinijskoj figuri«. Još jedna značajna tehnika »grandormacija« površina je da u VI.25.: »Konstruisati jednu figuru sličnu datoj pravolinijskoj figuri i jednaku (po površini) drugoj datoj pravolinijskoj figuri«. Primer toga bila bi konstrukcija četvorougla sličnog datom četvorouglu a jednake površine sa datim trouglom. Postavke VI.28. i VI.29. su primer metode primene površina. To je kontroverzna tema s obziorom da je tradicionalna interpretacija te tehnike bila da su je Grci koristili za rešavanje kvadratnih jednačina. (Transformacija površina zapravo nije uopšte kontraverzna s obrzirom da ona jednostavno znači konstrukciju jedne figure po površini jednake drugoj figuri.) Primena površina je postavka VI.29. »Na datu pravu liniju konstruisati paralelogram jednak datoj figuri i veći za paralelogramsku figuru sličnu datoj figuri.«

Prema gornjoj figuri data je prava linija AB, figura C date površine i figura D datog oblika, a problem je konstruisati na AB figuru (AEFH) jednaku po površini sa C i veću za figuru (BEFG) sličnu sa D. Prema onima koji se drže shavtanja geometrijske algebra Grci su iskoristili ovu konstrukciju da reše kvadratnu jednačinu.

ax + b/c x2 = S,

gde su paralelogrami uzeti kao pravougaonici i gde je a=AB, x=BG, b/c je odnos stvoren putem strana paralelograma D, a s je površina C. U postavci VI.30. postavljen je problem podele prave linije (duži) na nejednake delove ali tako da se cela duž prema većem delu odnosi kao veći deo prema manje. Ova konstrukcija je poznata kao Zlatni presek.

VII Knjiga

U VII Knjizi Euklid predstavlja Pitagorinu teoriju brojeva. To je poslednja knjiga Elemenata koja je sasvim samostalna. Prva od definicija je definicija jedinica, »ono po čemu svaka stvar koja postoji se smatra jednom«. Definicija 2. kaže da je: »broj množina sastavljena od jedinica«. Tako Pitagorejski koncept broja uključuje samo cele brojeve veće od 1. Naredne definicije prave podele nizova brojeva u manje kategorije brojeva: parni i neparni; parno-parne (pr. 4=2*2); parno-neparne (6=2*3) i neparno-neparne (15=3*5); proste i složene; ravanske (plane) i prostorne (solid) (proizvodi dva i tri broja respektivno ); kvadratni i kubni; savršeni (broj jednak sumi njegovih delioca npr. 28=1+2+4+7+14).
Euklid takođe definiše šta znači kada su brojevi uzajamno prosti-relativno prosti i uzajamno složeni-brojevi koji imaju zajednički delioc. Ove definicije služe kao osnova za knjige VII-IX, takozvane aritmetičke koje su gotovo potpuno nezavisne od prvih šest knjiga.
Postavke 2 i 3 daju metod za pronalaženje najvećeg zajedničkog delioca idva odnosno tri broja (tzv. Euklidov algoritam). Postavke od 4 do 20 predstavljaju Pitagorinu teoriju proporcija zasnovanu na merljivosti, broje koji imaju zajednički delilac. Većina ovih postavki su neposredno analogne onima u Knjizi V, koje se bave opštim veličinama. Međutim, Euklid ih ne tretira kao specijalne slučajeve ranijih postavki već ih sve dokazuje po principa merljivosti. Prosti i relativno prosti brojevi su obrađeni u VII.21. do VII.32. Npr. u VII.31. dokazano je da svaki složen broj ima za delioca neki prost broj. Najmanji zajednički sadržalac je razmatran u VII.34. do VII.39. Ovde se javlja problem nalaženja najmanjeg zajedničkog sadržaoca od dva (VII.34.) ili tri (VII.36.) broja. Upotrebljen metod se može upotrebiti za nalaženje najmanjeg zajedničkog sadržaoca za ma koliko brojeva.

VIII Knjiga

Postavke u ovoj Knjizi odnose se brojeve u produženoj proporciji; naime, nekoj vrsti geometrijskih progresija

a, ab, ab2, . . .

Tipična je postavka VIII.1. koja kaže: »ako uzmemo ma koliko smo zamislili brojeva u produženoj proporciji i krajnji su uzajamno prosti jedan drugom brojevi su jedini takvi koji imaju isti odnos«, što će reći ako A, B, C, ... N predstavlja geometrijski niz tako da su A i N relativno prosti, onda ne postoji drugi niz celih brojeva A`, B`, C`, ... N` sa istim odnosom tako da je A`<A, B`<B, ... N`<N. Peostale postavke su o sličnim razmatranjima, bave se kvadratnim, kubnim, ravanskim, prostornim brojevima u produženoj proporciji.

IX Knjiga

Posledja od takozvanih » aritmetičkih« knjiga uglavnom se bavi multiplikacijom i klasifikacijom brojeva u geometrijskim progresijama od jedinice- što će reći, neke forme nizova

1, a, a2, a3, ...

Postavka IX.14 je fundamentalna teorema teorije brojeva koja kaže da broj može biti rastavljen na proste činioce na samo jedan način. U IX. 20 ,Euklid dokazuje da » prostih brojeva ima više od svake određene množine prostih brojeva«- što će reći da je broj prostih brojeva neograničen. Postavke 21-29 se bave sumama, razlikama i proizvodima parnih i neparnih brojeva uzetih u različitim kombinacijama. U postavci IX. 36, Euklid dokazuje da ako je

1+2+4+16+ ... + 2n=S

prost onda je S*2n savršen broj. Ovo je još uvek jedini poznati metod za nalaženje savršenih brojeva.

X Knjiga

Većina ove Knjige je posvećena klasifikaciji i racionalnosti. Prema komentaru koji je Papus dao ovoj Knjizi najveći deo teroije se duguje Tetetu (425-369 p.n.e). Smatra se najtežom knjigom Elemenata i dužinom daleko premašuje sve druge sa 115 postavki. Euklidovi pojmovi o racionalnom i iracionalnom su malo drugačiji od današnjih. Prema trećoj definiciji, racionalna linija je ona koja je samerljiva u dužini ili u kvadratu prema datoj referentnoj liniji, koja je apriori prihvaćena kao racionalna. Otuda, ako je P uzeto kao racionalno, onda dati pravilni razlomak M/N, koji nije kvadrat drugog pravilnog razlomka (kao što je ¼= ½ * ½ ), Euklid će odrediti i M/N*P i SQRT(M/N)*P, kao racionalan dok bi današnji matematičari smatrali ovaj drugi izraz kao iracionalni. Prema Hitu, Euklid se razlikovao od svojih prethodnika u proširivanju koncepta racionalnih izraza. U I postavci ove knjige Euklid daje teoremu kao osnova za »metod eshaustije« koji se pripisuje Eudoksu. Teorema kaže:
»Neka su date dve različite veličine, ako se od veće oduzme veličina veća od njene polovine, a zatim od ostatka oduzme veličina veća od polovine ostatka, i ako se taj proces ponavlja u kontinuitetu ostaće neka veličina koja će biti manja od prvobitne manje veličine.«
Ova teorema zavisi od definicije 4 V Knjige, tzv. Arhimedov aksioma. Ova teorema omogućila je Euklidu da upoređuje površine krivolinijskih figura i zapremina tela u XII Knjizi. U X.21., Euklid počinje klasifikaciju iracionalnosti. Ostatak X Knjige posvećen je formulisanju i dokazivanju teorema o medijalima i 24 drugih vrsta iracionala. U modernoj algebarskoj simbolici sve ovo ima formulu

Iracionali ove formule uzeti sa + zovu se binominali (X.36. do X.72.), a oni sa znakom – zovu se apotome (X.73. do X.110.) U X.111. je dokazano da neka veličina ne može biti istovremeno i jedno i drugo.

XI Knjiga

Ova Knjiga sadrži poslednju grupu definicija koje se sve odnose na geometriju u prostoru. Euklid se odvaja od tradicije u mnogim od svojih definicija figura u prostoru. Npr. Aristotetel definiše sferu kao telo čiji »su krajnji delovi podjednako udaljeni od njenog centra«. Euklid pak definiše sferu kao telo koje nastaje obrtanjem polukruga oko svog fiksnog prečnika (XI def. 14). Slične definicije »zasnovane na kretanju« date su za kupu (XI def. 18.) i cilindar (XI. def. 21.). Druge definicije odnose na paralelne ravni, slične i jednake figure, prostorne uglove, prizme, piramide i ostala četiri pravilna poliedra-tetraedar se nije razlikovao od piramide. Dva tipična problema ove Knjige su: kako postaviti normalu na datu ravan iz tačke koja ne pripada toj ravni (XI.11) a drugi je konstruisati prostorni ugao od tri data ravanska ugla ako je to moguće (XI.23.). Poslednja trećina Kjnige je posvećena, uglavnom, paralelopipedima, to su tela ograniče sa tri para paralelnih ravni.

XII Knjiga

Ova knjiga se bavi piramidama, kupama i cilindrima. U ovoj knjizi Euklid koristi hvaljeni »metod eshaustije«. S obzirom da se metod pripisuje Eudoksu smatra se da je najveći deo ove knjige njegova zasluga. Pošto je dokazao da slični poligoni upisani u krugove se odnose jedan prema drugom kao kvadrati nad prečnicima (XII.1), Euklid koristi rezultate metoda eshaustije da dokaže da sami krugovi međusobno stoje u odnosu kao kvadrati nad prečnicima( XII.2).To je postignuto pod predpostavkom da krugovi nemaju to svojstvo i došlo se do kontradikcije. Upisujući kvadrat u svaki krug, a zatim osmougao , pa šesnaestougao i tako redom pokazano je da na kraju dobijamo poligone koji nisu u istom odnosu kao kvadrati nad prečnicima. Tako je utvrđeno da je predpostavka pogrešna a dokazano da je postavka tačna.
Metod eshaustije je, takođe, upotrebljen da se dokaže da su piramide, kupe i cilindri iste visine u odnosu jedan prema drugom- u odnosu na njihove zapremine- kao njihove osnove ( XII. 5, XII.11) i da je zapremina jednaka trećini zapremine cilindra iste osnove i visine ( XII.10). Postavka 17 nagoveštava mogućnost konstrukcije pet pravilnih poliedara u XIII knjizi.
» Neka su date dve sfere sa istim centrom, upisati u veću sferu poliedar koji ne dodiruje manju sferu svojom površinom.« Euklid koristi tu postavku u poslednjoj postavci (XII. 18) da dokaže da se sfere nalaze u istom odnosu kao kupe nad njihovim prečnicima.

XIII Knjiga

Poslednja originalna Euklidova knjiga posvećena je konstrukciji pet pravilnih poliedara. Veruje se da je veliki deo ove knjige baziran na Aristejevom radu naslovljenom »Poređenje pet figura«. Konstrukcija ovih, takozvanih, Platonovih figura se smatrala ciljem celog rada kako je smatrao Proklo- čime su podržane njegove tvrdnje da je Euklid bio Platonista. Međutim nema nekog realnog značaja to što su pravilni poliedri bili tema poslednje knjige. Postavke ove knjige su morale da budu poslednje jer one zavise od većine poslednjih knjiga. Osim toga, Euklid je mogao lako da preskoči »aritmetičke« knjige ako mu je jedina svrha bila konstrukcija pravilnih poliedara.
XIII knjiga počinje sa 6 postavki o linijama podeljenim u zlatnom preseku. Taj se presek pojavljuje kod pravilnih petouglova i zbog toga je neophodan za razmatranje dodekaedra. Zatim slede različite postavke o petouglu, šestouglu i jednakostraničnom trouglu upisanom u krug.
Konačno, Euklid konstruiše u sferama pet pravilnih poliedara: tetraedar sastavljen od 4 jednakostranična trougla ( XIII.13), oktaedar od osam jednakostraničnih trouglova ( XIII.14), heksaedar (XIII. 15), ikosaedar sastavljen iz 20 jednakostraničnih trouglova ( XIII. 16), dodekaedar iz 12 pravilnih petouglova (XIII. 17). Konačno u XIII. 18, Euklid postavlja u istom polukrugu stranice pet figura i međusobno ih poredi. U toj postavci on dokazuje da ne postoji ni jedan drugi pravilan poliedar.

Apokrifne knjige

Euklidovom originalnom delu od 13 knjiga 14 je dodao Hipsikle ( stvarao oko 170 p.n.e.). Radeći na osnovu dela Aristeaja i Apolonija on poredi pet pravilnih poliedara imajući u vidu njihove oblike, površine strana i zapremine.
XV knjiga se pripisuje Isidoru iz Mileta ( oko 530 g.n.e.), možda su je zapisali jedan ili više njegovih učenika, bavi se upisivanjem određenih pravilnih poliedara jednih u druge, utvrđivanjem broja ivica i broja temena svakog od njih i pronalaženjem nagibnog ugla između susednih strana poliedara. Ova takozvana XV knjiga je inferiorna u odnosu na predhodnu jer je neprecizna i čak netačna u nekim poglavljima.

Literatura

1. http://ecomod.tamu.edu/~dcljr/euclid.html
2. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Euclid.html
3. Dirk J. Strojk, »Kratak pregled istorije matematike«, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1991
4. Euklid, »Elementi I-XIII«, Naučna knjiga, Beograd, 1949
5. Dr Dragomir Lopandić, »geometrija za III razred usmerenog obrazovanja matematičko-tehničke struke«, Naučna knjiga, Beograd, 1987

 preuzmi seminarski rad u wordu » » » 

Besplatni Seminarski Radovi